笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates，法语（yǔ）：les coordonnées cartésiennes）就是直角坐标系（xì）和（hé）斜坐标系的统称。

相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系。如两条（tiáo）数轴（zhóu）上的度量单位相等，则称此放（fàng）射坐标系（xì）为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标（biāo）系，否则称为笛卡尔斜（xié）角（jiǎo）坐标系。

中文名：笛卡尔坐标系

外文（wén）名：Cartesian coordinates

领    域：数学

释    义：直角坐标系和斜坐标系的统称

属    性：一种（zhǒng）放射坐标系

推    广：空（kōng）间笛卡尔坐（zuò）标系

 

坐标系简介

笛卡（kǎ）尔坐标系就（jiù）是直（zhí）角坐标系和斜角坐标（biāo）系的统称（chēng）。 相交于原点的两条数轴，构成了平（píng）面放射（shè）坐标系。如两条数轴上的度量单位（wèi）相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系（xì）。两条数轴互相垂直的笛卡（kǎ）尔坐标系，称为笛卡尔直角（jiǎo）坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标（biāo）系（xì）。需要指出的是，请将数学中（zhōng）的笛（dí）卡尔（ěr）坐标系与电影《异次元杀阵（zhèn）》中的笛卡尔坐标相区分，电影中的定义（yì）与数学中定义有出入，请勿混（hún）淆。

二维（wéi）的直角坐标系是（shì）由两条相互垂直、0 点重合（hé）的数（shù）轴构（gòu）成的。在平（píng）面内，任何一点的坐标是根（gēn）据数轴上对应的点的坐标设定的（de）。在平（píng）面内，任何一点与（yǔ）坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标（biāo）的对（duì）应关系。采（cǎi）用直角坐标，几何形状（zhuàng）可以用代数公式明确的表（biǎo）达出来。几（jǐ）何形（xíng）状的每一个点的直角坐标必须（xū）遵守这代数公式。

笛卡尔（ěr）坐标（biāo）系二维坐标系

二维的直角坐标系通常由（yóu）两个互（hù）相垂直的坐标轴设定，通常分别称（chēng）为（wéi） x-轴（zhóu）

和 y-轴（zhóu）；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为 O ，既有（yǒu）“零”的意（yì）思，又是英语“Origin”的首字母。每一个轴都指向一个特定的方（fāng）向。这两个不同线（xiàn）的坐标轴，决定了一个平面，称为 xy-平面，又称为笛卡尔（ěr）平面。通常两个坐标轴只要互相（xiàng）垂直，其指向何方对（duì）于分析问（wèn）题是没有影响的（de），但习惯性地（见右图），x-轴被水平摆放，称（chēng）为横轴，通常（cháng）指向右方；y-轴（zhóu）被竖直摆放而称为（wéi）纵轴，通常（cháng）指向上方。两（liǎng）个坐标（biāo）轴（zhóu）这样的位置关系，称为（wéi）二（èr）维的右手坐标系，或右手系。如果把这个（gè）右手系画在一（yī）张透（tòu）明纸片上，则（zé）在平面内无论怎样旋转它，所得到的（de）都叫做右手系；但如果把纸片翻转（zhuǎn），其（qí）背面看到的坐标系则称为“左手系”。这和照镜子时左右（yòu）对掉的性质（zhì）有关。

为了要知道坐（zuò）标轴的任何一点，离原点（diǎn）的距（jù）离。假设，我们可以刻（kè）画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔（gé）一个单位长度，就刻画数值于（yú）坐标轴。这数值是 刻画（huà）的次数，也是离原点的正值整数（shù）距离；同样地，背着坐标轴所指的（de）方向，我（wǒ）们也可以刻画出 离原点的负值整数距离。称 x-轴刻画的数值为 x-坐（zuò）标，又称横坐（zuò）标，称 y-轴刻画的数值为 y-坐标，又（yòu）称纵坐标。虽然，在这里，这两个（gè）坐标都是（shì）整数，对应于坐标轴（zhóu）特定的点。按照比例（lì），我们可以推广至实数坐标 和其（qí）所对应的坐标轴的每一个点（diǎn）。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记（jì）为(x，y)。

任何一个点 P 在平面的位置，可以用（yòng）直角坐标来独特表达。只要（yào）从点 P

画一条垂（chuí）直（zhí）于 x-轴（zhóu）的直线。从这条直线与 x-轴的相交点，可以找到点 P 的（de） x-坐标。同样地（dì），可以找到点 P 的（de） y-坐标。这样，我们可以（yǐ）得（dé）到点 P 的直角坐标。

直角坐标系也可以推广（guǎng）至（zhì）三维空间（3 dimension）与高（gāo）维空间 (higher dimension) 。

直角坐标系的两个坐标轴（zhóu）将平面分（fèn）成了四个部分，称为象限，分别用罗马数字编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。依（yī）照惯（guàn）例（lì），象限Ⅰ的两个坐标都是（shì）正值；象限Ⅱ的 x-坐标是负值， y-坐标是正值（zhí）；象限（xiàn）Ⅲ的两个坐标都是负（fù）值的（de）；象限Ⅳ的 x-坐标是正值， y-坐标是（shì）负值。所以，象限的编号是按照（zhào）逆时针（zhēn）方向，从象限Ⅰ编到象限（xiàn）Ⅳ。

笛卡（kǎ）尔坐标系三维坐（zuò）标系

放射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广：相交于原点的三（sān）条不共面的数轴构成空间的放射坐标系。三条数轴上度量（liàng）单位相等的放射坐标系被称为空间笛卡尔坐标（biāo）系。三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被（bèi）称为空间笛卡尔直角坐标系，否则被称为空间笛卡尔（ěr）斜角（jiǎo）坐标系。

空（kōng）间直角坐标系

为了沟（gōu）通空间图形与数的研（yán）究，我们需要建立空间的点与有序

数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实（shí）现。 过定点O，作三条互相垂直的数轴（zhóu），它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫（jiào）做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通（tōng）常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它（tā）们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴（zhóu），当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的（de）指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。这样就构成了一（yī）个笛卡尔坐（zuò）标。

在三维笛卡尔坐标系中，三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面（miàn），将（jiāng）三维空间分成了（le）八个部分，称为卦限(octant) 空。第Ⅰ卦限的每一个点的三个坐标都是正值。

笛卡尔坐标系产生过（guò）程（chéng）

据说有一（yī）天（tiān），法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形（xíng）是直观的，而（ér）代数（shù）方程是比较抽（chōu）象（xiàng）的，能不（bú）能（néng）把几何图形与代数方程结合起来（lái），也就是说能（néng）不能（néng）用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的（de）点和满足（zú）方程（chéng）的每一组“数”挂上钩，他苦苦（kǔ）思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见（jiàn）屋（wū）顶角上的一只蜘蛛，拉着（zhe）丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开（kāi）朗。他想，可以（yǐ）把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能（néng）把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两（liǎng）面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角（jiǎo）作（zuò）为起点，把交出来的三条线作为（wéi）三根数轴，那么空间中任（rèn）意一点的位置就可以用这三根数轴上找（zhǎo）到有顺序的三个数。反过（guò）来（lái），任意给一（yī）组三个有顺序的（de）数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样（yàng）道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一（yī）个点，平面（miàn）上（shàng）的（de）一个点也可（kě）以有用一组两（liǎng）个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。

直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了（le）一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上，创造了用代数的方法（fǎ）来研究几何图形（xíng）的数学分支——解析几（jǐ）何， 他大（dà）胆设想：如果把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可（kě）以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的。举一个例子来说（shuō），我们可以把圆看作是动点到定点距离相（xiàng）等的点的轨迹（jì），如果我们再把点看（kàn）作是组成几何图（tú）形的基本元素，把数看作是组成方程的解，于是（shì）代数和几何就这样合为（wéi）一家人了。

备（bèi）注

笛卡尔在《方法谈》一书附录的《几（jǐ）何学》这（zhè）篇论文中，阐述了解析（xī）几何的基本原理，创造了笛卡尔坐（zuò）标系。

在笛卡尔以前，几何和代数是两门科学，几何研究图形，代数研究数。笛卡尔不满意这两门科学孤立（lì）研究的抽象性，企图使二者（zhě）联系起来，并使它们具体化。他通过他所设计的坐标系统标示法，以及他对于变数的深入（rù）研究，证明几何问题可以归结为代数问题，在求解时可以运用全部代数方法。从此，变数（shù）被引进了（le）数学，成为数学发（fā）展中的转折点，为微积分的出现创造了条件。笛卡尔坐标系被广泛地应用在工（gōng）程技术和物（wù）理学领域中。

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